BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

1.     BARISAN BILANGAN

Barisan bilangan adalah urutan/susunan bilangan-bilangan yang disusun menurut aturan tertentu.

Contoh barisan bilangan :

1.      3, 7, 11, 15, 19, …….

Aturan barisan bilangan diatas adalah “ ditambah 4”

2.      2, 6, 18, 54, 162, …..

Aturan barisan bilangan diatas adalah : “dikali 3”

3.      96, 48, 24, 12, 6, ……

Aturan barisan bilangan diatas adalah : “dibagi 2”

4.      3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ….

Aturan barisan bilangan diatas adalah “ Suku selanjutnya diperoleh dari jumlah dua suku sebelumnya, dengan syarat dua suku pertama diketahui”. Barisan bilangan yang mempunyai aturan demikian disebut barisan bilangan Fibonacci

2.      BARISAN ARITMETIKA

Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai nilai beda yang tetap, dimana beda adalah U_n – U_n-1

Contoh barisan aritmetika :

1.      5, 8, 11, 14, 17, …..

U₁ = 5, U₂ = 8, U₃ = 11, U₄ = 14, U₅ = 17

U₂ – U₁  = U₃ – U₂ = U₄ – U₃ = U₅  - U₄ = 3

Sehingga barisan bilangan diatas merupakan barisan aritmetika karena bedanya  tetap yaitu 3

2.      28, 22, 16, 10, 4, …..

U₁ = 28, U₂ = 22, U₃ = 16, U₄ = 10, U₅ = 4

U₂ – U₁  = U₃ – U₂ = U₄ – U₃ = U₅  - U₄ = -6

Sehingga barisan bilangan diatas merupakan barisan aritmetika karena bedanya tetap yaitu -6

RUMUS UMUM SUKU KE-n DARI BARISAN ARITMETIKA

Didalam barisan aritmetika U₁, U₂, U₃, U₄, U₅, ….. dengan nilai beda b maka :

U₂ = U₁ + b = U₁ + (2 - 1)b

U₃ = U₁ + 2b = U₁ + (3 - 1)b

U₄ = U₁ + 3b = U₁ + (4 – 1)b , dan seterusnya, sehingga dari keterangan diatas kita bisa mengambil kesimpulan jika U_n = U₁ + (n – 1)b

Contoh :

1.      Dari barisan bilangan aritmetika  7, 10, 13, 16, 19, 22, ….. tentukan :

a.       Rumus suku ke-n

b.      Suku ke-85

Jawab :

a.       U₁ = 7, b = 10 -7 = 3

      U_n = U₁ + (n – 1)b

      U_n = 7 + (n – 1)3

      U_n = 7 + 3n – 3

      U_n  = 3n + 4          

b.      U₈₅ = 3(85) + 4

      = 255 + 4

      = 259

      RUMUS JUMLAH n SUKU PERTAMA DERET ARITMETIKA

      Jumlah n suku pertama deret aritmetika disimbolkan dengan S_n

      S_n = U₁ + U₂ + U₃ + U₄  + U₅ + .............. + U_n

      S_n = U₁ +  (U₁ + b) +  (U₁ + 2b)  + …… + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n    (1)

      Penjumlahan bersifat komutatif, maka S_n bisa juga dinyatakan dengan :

      S_n = U_n +  (U_n – b) +  (U_n – 2b) + ……  + (U₁ + 2b) + (U₁ + b) + U₁     (2)

      Jika (1) dijumlahkan dengan (2) maka didapat :

      2S_n = (U₁  + U_n) + (U₁  + U_n) + (U₁  + U_n) + ……… + (U₁  + U_n) + (U₁  + U_n)
      2S_n = n(U₁  + U_n)

     
      

           

  Contoh :

1.      Hitung jumlah 90 suku pertama dari deret aritmetika 39 + 35 + 31 + 27 + ……

Jawab : U₁ = 39, b = 35 – 39 = -4

S₉₀ = 45(78 + 89(-4)

      = 45(78 – 356)

      = 45(-278)

      = -12.510

Jadi jumlah 90 suku pertama deret tersebut adalah -12.510

2.      Diketahui suku pertama deret aritmetika adalah 10 dan suku terakhirnya adalah 370. Jika U₁₂ – U₉ = 72, hitung jumlah deret tersebut!

Jawab :

U₁₂ – U₉ = 72

(U₁ + 11b) – (U₁ + 8b) = 72

11b  - 8b = 72

3b = 72

b  = 24

U_n   = U₁ + (n – 1)b

370      = 10 + (n – 1)(24)

370      = 10 + 24n – 24

370                  = 24n – 14

370 + 14 = 24n

384 = 24n

n = 16

S₁₆ = 8(20 + 15(24)

      = 8(20 + 360)

      = 8(380)

      = 3.040

Jadi jumlah deret tersebut adalah 3.040
 

BARISAN ARITMETIKA BERTINGKAT

Untuk pendalaman tentang barisan aritmetika bertingkat, silakan dicoba soal berikut !

Berikut video tentang barisan dan deret aritmetika.